{
    "source_file": "./raw_volume-zh/volume11/chapter6.tex",
    "text": "对应不仅是一个基本的数学概念, 而且是解题和证题的一种重要方法和技巧.\n对应是联系陌生问题和熟悉问题的桥梁, 通过对应往往使得一些隐蔽的关系变得明朗和具体, 使人们易于找到解决问题的途径.\n用对应方法解题的关键是构造对应关系, 而这并没有一般的通法, 而应根据不同问题的特点作具体分析才能确定.\n下面我们将通过具体例题说明各种对应方法在解题中的应用.\n一、配对 法所谓配对法, 是指这样一种解题和证题的思想方法: 按照一定的规则, 将所研究的对象两两配成一对, 从而使得计算比较容易或解题思路更加清晰, 达到化繁为简, 化难为易的目的.\n二、映射方法运用映射法解题, 主要是利用下列定理.\n定理设 $f$ 是从有限集合 $M$ 到有限集合 $N$ 的映射.\n$|M|,|N|$ 分别表示 $M, N$ 中元素个数.\n(1) 若 $f$ 是单射 (即对任意 $x_1, x_2 \\in M$, 当 $x_1 \\neq x_2$ 时有 $f\\left(x_1\\right) \\neq \\left.f\\left(x_2\\right)\\right)$, 则 $|M| \\leqslant|N|$;\n(2) 若 $f$ 为满射 (即对任意 $y \\in N$, 都存在 $x \\in M$ 使 $f(x)=y$ ), 则 $|M| \\geqslant|N|$;\n(3) 若 $f$ 为双射, 又称 $f$ 是从 $M$ 到 $N$ 上的一一对应(即 $f$ 既是单射, 又是满射), 则 $|M|=|N|$.\n当计算有限集合 $M$ 中的元素个数比较困难时,我们设法建立 $M$ 到另一集合 $N$ 上的双射, 如果 $N$ 中的元素个数 $|N|$ 容易算出, 于是由 $|M|=|N|$, 得出 $M$ 中元素的个数, 这就是计数中的映射方法.\n在某些组合证明中,除了要建立方程外,有时还要建立不等关系, 这时就可考虑构造单射、满射来进行论证.",
    "figures": []
}