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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume11/chapter4.tex",
    "text": "一、递推数列对于一个数列 $\\left\\{x_n\\right\\}$, 若存在正整数 $k$ 和一个把 $x_{n+k}$ 和前面 $k$ 项 $x_{n+k-1}$, $x_{n+k-2}, \\cdots, x_n$ 联系起来的方程\n$$\n\\Phi\\left(x_{n+k}, x_{n+k-1}, \\cdots, x_n\\right)=0, k=0,1,2, \\cdots, \\label{eq1}\n$$\n则称数列 $\\left\\{x_n\\right\\}$ 为 $k$ 阶递推数列, 且称方程(1)是数列 $\\left\\{x_n\\right\\}$ 的递推方程.\n从式\\ref{eq1} 解出\n$$\nx_{n+k}=\\varphi\\left(x_{n+k-1}, x_{n+k-2}, \\cdots, x_n\\right), \\label{eq2}\n$$\n又称为数列 $\\left\\{x_n\\right\\}$ 的递推公式, 数列 $\\left\\{x_n\\right\\}$ 开头 $k$ 项的值.\n$$\nx_1=a_1, x_2=a_2, \\cdots, x_k=a_k\\left(a_1, a_2, \\cdots, a_k \\text { 为已知常数 }\\right) \\text {, } \\label{eq3}\n$$\n称为递推方程式\\ref{eq1} 或递推公式\\ref{eq2} 的初始条件或初始值, 显然, 一个 $k$ 阶递推数列 $\\left\\{x_n\\right\\}$ 可由递推公式\\ref{eq2}和初始值式\\ref{eq3}唯一确定.\n由递推公式\n$$\n\\begin{aligned}\n& x_{n+k}=p_1 x_{n+k-1}+p_2 x_{n+k-2}+\\cdots+p_k x_n+q, \\\\\n& \\left(n=1,2,3, \\cdots ; p_1, p_2, \\cdots, p_k \\text { 为常数且 } p_k \\neq 0\\right)\n\\end{aligned}  \\label{eq4}\n$$\n及初始值式\\ref{eq3}确定的数列 $\\left\\{x_n\\right\\}$ 称为 $k$ 阶常系数线性递推数列, 特别 $q \\equiv 0$ 时, 称为 $k$ 阶常系数线性齐次递推数列.\n二、求递推数列通项的方法\n(1)换元方法这种方法的基本思想是: 选择适当的变换函数 $\\varphi(x)$, 令 $x_n=\\varphi\\left(y_n\\right)$ 或 $\\varphi\\left(x_n\\right)=y_n$, 代入到 $\\left\\{x_n\\right\\}$ 的递推关系中, 得到 $\\left\\{y_n\\right\\}$ 的一个新的递推关系.\n如果从这个新的递推关系中能求出 $y_n$ 的通项, 那么代入到 $x_n=\\varphi\\left(y_n\\right)$ 或 $\\varphi\\left(x_n\\right)=y_n$ 中, 便可求出 $x_n$ 的通项.\n因此, 换元的关键是选择变换函数 $\\varphi(x)$.\n(2)特征根法考虑二阶常系数线性齐次递推数列 $\\left\\{x_n\\right\\}$ :\n$$\nx_{n+2}=p x_{n+1}+q x_n(n=0,1,2, \\cdots, p, q \\text { 为常数, } q \\neq 0) . \\label{eq5}\n$$\n若有等比数列 $\\left\\{r^n\\right\\}$ 满足 式\\ref{eq5},则易知 $r$ 必须满足下列二次方程\n$$\nr^2=p r+q, \\label{eq6}\n$$\n我们称方程式\\ref{eq6}为\\ref{eq5}的特征方程, 并称式\\ref{eq6}的根为特征根, 反之若 $r_0$ 是式\\ref{eq6}的一个根, 则易证等比数列 $\\left\\{r_0^n\\right\\}$ 满足递推公式(5).\n若式\\ref{eq6}有两个不相等的根 $r_1$ 和 $r_2$, 则数列 $\\left\\{r_1^n\\right\\}$ 和 $\\left\\{r_2^n\\right\\}$ 都是式\\ref{eq5}的解, 并且对任意常数 $c_1, c_2$, 数列 $\\left\\{c_1 r_1^n+c_2 r_2^n\\right\\}$ 也是 式\\ref{eq5} 的解.\n如果给出初始值 $x_0=a$, $x_1=b$, 则由\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nc_1+c_2=a, \\\\\nc_1 r_1+c_2 r_2=b,\n\\end{array}\\right.\n$$\n可唯一确定 $c_1$ 和 $c_2$, 从而得出式\\ref{eq5}的满足初始值 $x_0=a, x_1=b$ 的唯一解为\n$$\nx_n=c_1 r_1^n+c_2 r_2^n .\n$$\n若式\\ref{eq6}有二重根 $r=\\frac{p}{2}$, 则由\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n2 r-p=0, \\\\\nr^2-p r-q=0, \\\\\nr^2=-q .\n\\end{array}\\right.\n$$\n可得 $p r+2 q=0$, 从而有\n$$\n\\begin{aligned}\n& n r^n-p(n-1) r^{n-1}-q(n-2) r^{n-2} \\\\\n= & n r^{n-2}\\left(r^2-p r-q\\right)+r^{n-2}(p r+2 q) \\\\\n= & 0 .\n\\end{aligned}\n$$\n即数列 $\\left\\{n r^{n-1}\\right\\}$ 是式\\ref{eq5}的解, 并且对任意常数 $c_1$ 和 $c_2 .\\left\\{c_1 r^n+c_2 n r^n\\right\\}$ 也是(5)的解.\n再由初始值 $x_0=a, x_1=b$, 可唯一确定 $c_1, c_2$, 从而得到式\\ref{eq5}的满足初始值\n$x_0=a, x_1=b$ 的唯一解为 $x_n=\\left(c_1+c_2 n\\right) r^n$.\n(3) 数学归纳法,这个方法的基本思想是 : 从初始值出发, 利用所给的递推关系逐次算出数列前面若干项的值, 从中找出规律, 归纳出通项的表达式, 再用数学归纳法给予证明.",
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