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    "text": "抽㞌原理与平均值原理.\n一、抽㞕原理.\n抽屉原理又称鸽巢原理或狄利克雷 (Dirichlet) 原理, 抽屉原理是组合数学中基本而重要的原理之一, 许多存在性问题的证明都可以用抽屉原理来解决.\n第一抽庶原理如果将 $m$ 个物件放人 $n$ 个抽庶内, 那么必有一个抽庶内至少有 $\\left[\\frac{m-1}{n}\\right]+1$ 个物件.\n证明用反证法, 如果每个抽庶内至多有 $\\left[\\frac{m-1}{n}\\right]$ 个物件, 那么放人 $n$ 个抽庶内的物件的总数至多为 $n\\left[\\frac{m-1}{n}\\right] \\leqslant n\\left(\\frac{m-1}{n}\\right)=m-1$, 这与共有 $m$ 个物件矛盾,故必有一个抽屉内至少有 $\\left[\\frac{m-1}{n}\\right]+1$ 个物件.\n证毕.\n推广如果将 $m_1+m_2+\\cdots+m_n+1\\left(m_1, m_2, \\cdots, m_n\\right.$ 均为正整数 $)$ 个物件放人 $n$ 个抽庶内, 那么或者第一个抽屉内至少有 $m_1+1$ 个物件, 或者第二个抽庶内至少有 $m_2+1$ 个物件……或者第 $n$ 个抽庶内至少有 $m_n+1$ 个物件.\n证明用反证法, 如果第 $i$ 个抽屉内至多只有 $m_i$ 个物件 $(i=1,2, \\cdots$, $n)$, 那么 $n$ 个抽庶内的物件的总数至多为 $m_1+m_2+\\cdots+m_n$, 这与一共有 $m_1+m_2+\\cdots+m_n+1$ 个物件矛盾,故结论成立.\n证毕.\n第二抽庶原理如果将 $m$ 个物件放人 $n$ 个抽庶内, 那么必有一个抽庶内至多有 $\\left[\\frac{m}{n}\\right]$ 个物件.\n证明用反证法, 如果每个抽庶内至少有 $\\left[\\frac{m}{n}\\right]+1$ 个物件, 那么 $n$ 个抽庶内的物件总数至少为 $n\\left(\\left[\\frac{m}{n}\\right]+1\\right)>n \\cdot \\frac{m}{n}=m$, 这与 $n$ 个抽屉内共有 $m$ 个物件矛盾,故结论成立.\n证毕.\n推广如果将 $m_1+m_2+\\cdots+m_n-1\\left(m_1, m_2, \\cdots, m_n\\right.$ 均为正整数 $)$ 个物件放人 $n$ 个抽㞕内, 那么或者第一个抽㞕内至多有 $m_1-1$ 个物件, 或者第二个抽㞕内至多有 $m_2-1$ 个物件 ......或者第 $n$ 个抽屉内至多有 $m_n-1$ 个物件.\n证明用反证法,如果第 $i$ 个抽㞎内至少有 $m_i$ 个物件 $(i=1,2, \\cdots, n)$,那么 $n$ 个抽屉内的物件的总数至少为 $m_1+m_2+\\cdots+m_n$, 这与 $n$ 个抽屉内共有 $m_1+m_2+\\cdots+m_n-1$ 个物件矛盾,故结论成立.\n证毕.\n二、平均值原理平均值原理 (1) 设 $a_1, a_2, \\cdots, a_n$ 是实数, $A=\\frac{1}{n}\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_n\\right)$, 则 $a_1, a_2, \\cdots, a_n$ 中必有一个数不小于 $A$, 也有一个数不大于 $A$;\n(2) 设 $a_1, a_2, \\cdots, a_n$ 是正实数, $G=\\sqrt[n]{a_1 a_2 \\cdots a_n}$, 则 $a_1, a_2, \\cdots, a_n$ 中必有一个数不小于 $G$, 也有一个数不大于 $G$.\n证明 (1) $\\min _{1 \\leqslant i \\leqslant n}\\left\\{a_i\\right\\} \\leqslant A \\leqslant \\max _{1 \\leqslant i \\leqslant n}\\left\\{a_i\\right\\}$;\n(2) $\\min _{1 \\leqslant i \\leqslant n}\\left\\{a_i\\right\\} \\leqslant G \\leqslant \\max _{1 \\leqslant i \\leqslant n}\\left\\{a_i\\right\\}$.",
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