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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex",
    "text": "二、容斥原理的简单形式如果条件(ii)不一定满足, 也就是说可能存在 $1 \\leqslant p \\neq q \\leqslant n$, 使\n$$\nA_p \\cap A_q \\neq \\varnothing\n$$\n时, $\\left|A_1\\right|,\\left|A_2\\right|, \\cdots,\\left|A_n\\right|$ 与 $|M|$ 有什么关系呢? 我们还是先来看比较简单的情形.\n定理 $1\\left|A_1 \\cup A_2\\right|=\\left|A_1\\right|+\\left|A_2\\right|-\\left|A_1 \\cap A_2\\right|$.\n证明设 $A_1 \\cap A_2=B, A_1^{\\prime}=A_1 \\backslash B, A_2^{\\prime}=A_2 \\backslash B$, 则\n$$\nA_1 \\cup A_2=A_1^{\\prime} \\cup A_2^{\\prime} \\cup B \\text {. }\n$$\n由加法原理知, $\\left|A_1^{\\prime}\\right|=\\left|A_1\\right|-|B|,\\left|A_2^{\\prime}\\right|=\\left|A_2\\right|-|B|$, 所以\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|A_1 \\cup A_2\\right| & =\\left|A_1^{\\prime} \\cup A_2^{\\prime} \\cup B\\right|=\\left|A_1^{\\prime}\\right|+\\left|A_2^{\\prime}\\right|+|B| \\\\\n& =\\left(\\left|A_1\\right|-|B|\\right)+\\left(\\left|A_2\\right|-|B|\\right)+|B| \\\\\n& =\\left|A_1\\right|+\\left|A_2\\right|-\\left|A_1 \\cap A_2\\right| .\n\\end{aligned}\n$$\n定理 2 设 $A_1 、 A_2$ 是集合 $S$ 的子集,则\n$$\n\\left|\\complement_S A_1 \\cap \\complement_S A_2\\right|=|S|-\\left|A_1\\right|-\\left|A_2\\right|+\\left|A_1 \\cap A_2\\right| .\n$$\n证明由摩根定律及加法原理有\n$$\n\\left|\\complement_S A_1 \\cap \\complement_S A_2\\right|=\\left|\\complement_S\\left(A_1 \\cup A_2\\right)\\right|=|S|-\\left|A_1 \\cup A_2\\right| .\n$$\n又由定理 1 得\n$$\n\\left|\\complement_S A_1 \\cap \\complement_S A_2\\right|=|S|-\\left|A_1\\right|-\\left|A_2\\right|+\\left|A_1 \\cap A_2\\right| .\n$$\n定理 1 及定理 2 是容斥原理的简单形式, 可以用来解决一些简单的计数问题.",
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