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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex",
    "problem_type": "calculation",
    "problem": "例8. 设 $S$ 是一个由正整数组成的集合, 具有如下性质: 对任意 $x \\in S$, 在 $S$ 中去掉 $x$ 后, 剩下的数的算术平均值都是正整数, 并且 $1 \\in S, 2002$ 是 $S$ 中的最大元.\n求 $|S|$ 的最大值.",
    "solution": "分析:显然 1 是 $S$ 中的最小元.\n设 $S$ 的元素为 $1=x_1<x_2<\\cdots<x_n=$ 2002 , 由 $\\frac{\\sum_{i=1}^n x_i-x_j}{n-1} \\in \\mathbf{N}^*$, 我们来估计 $|S|$ 的范围.\n解设 $S$ 中的元素为\n$$\n1=x_1<x_2<\\cdots<x_n=2002,\n$$\n则对于 $1 \\leqslant j \\leqslant n$, 均有\n$$\ny_j=\\frac{\\left(\\sum_{i=1}^n x_i\\right)-x_j}{n-1} \\in \\mathbf{N}^* .\n$$\n从而, 对任意 $1 \\leqslant i<j \\leqslant n$, 都有\n$$\ny_i-y_j=\\frac{x_j-x_i}{n-1} \\in \\mathbf{N}^* .\n$$\n特别地, 应有 $n-1 \\mid(2002-1)$, 即\n$$\nn-1 \\mid 2001 .\n$$\n另一方面, 对于 $1<j \\leqslant n$, 均有\n$$\n\\begin{gathered}\nx_j-1=\\left(y_1-y_j\\right)(n-1), \\\\\nn-1 \\mid\\left(x_j-1\\right) . \\\\\n\\left(x_j-1\\right)-\\left(x_{j-1}-1\\right), \\text { 所以 } \\\\\n(n-1) \\mid\\left(x_j-x_{j-1}\\right)(j=2, \\cdots, n),\n\\end{gathered}\n$$\n从而\n$$\n\\begin{aligned}\n\\text { 又 } x_j-x_{j-1}= & \\left(x_j-1\\right)-\\left(x_{j-1}-1\\right), \\text { 所以 } \\\\\n& (n-1) \\mid\\left(x_j-x_{j-1}\\right)(j=2, \\cdots, n),\n\\end{aligned}\n$$\n于是\n$$\n\\begin{aligned}\nx_n-1 & =\\left(x_n-x_{n-1}\\right)+\\left(x_{n-1}-x_{n-2}\\right)+\\cdots+\\left(x_2-1\\right) \\\\\n& \\geqslant(n-1)+(n-1)+\\cdots+(n-1)=(n-1)^2,\n\\end{aligned}\n$$\n即 $(n-1)^2 \\leqslant 2001, n \\leqslant 45$. 结合 $n-1 \\mid 2001$, 知 $n=2,4,24,30$, 故 $n \\leqslant 30$.\n另一方面, 令 $x_j=29 j-28,1 \\leqslant j \\leqslant 29, x_{30}=2002$, 则 $S=\\left\\{x_1, x_2, \\cdots\\right.$, $x_{30}$ 具有题述性质.\n所以, $|S|$ 的最大值为 30 .\n说明先估计 $|S|=n$ 的上界, 即 $n \\leqslant 30$, 再构造一个实例说明 $n=30$ 是可以达到的, 从而知 $n$ 的最大值为 30 . 这种“先估计, 再构造”的方法在解决离散型最值问题时经常被用到.",
    "remark": "",
    "figures": []
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