{
    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",
    "problem_type": "calculation",
    "problem": "例2. 已知集合 $A=\\left\\{x \\mid x^2-2 x-3 \\leqslant 0\\right\\}, B=\\left\\{x \\mid x^2+p x+q<0\\right\\}$, 若 $A \\cap B=\\{x \\mid-1 \\leqslant x \\leqslant 2\\}$. 求 $p 、 q$ 的取值范围.",
    "solution": "解:\n$$\nA=\\left\\{x \\mid x^2-2 x-3 \\leqslant 0\\right\\}=[-1,3] .\n$$\n设 $x^2+p x+q=0$ 的两根为 $x_1 、 x_2, x_1<x_2$. 则\n$$\n\\begin{gathered}\nx^2+p x+q=\\left(x-x_1\\right)\\left(x-x_2\\right), \\\\\nB=\\left(x_1, x_2\\right) .\n\\end{gathered}\n$$\n由 $A \\cap B=[-1,3] \\cap\\left(x_1, x_2\\right)=[-1,2)$, 得\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx_1<-1, \\\\\nx_2=2 .\n\\end{array}\\right.\n$$\n由韦达定理, 得\n$$\n\\begin{gathered}\nx_1+x_2=x_1+2=-p, \\\\\nx_1 x_2=2 x_1=q .\n\\end{gathered}\n$$\n因为 $x_1<-1$, 所以\n$$\n\\begin{gathered}\n-p-2<-1, \\\\\n\\frac{q}{2}<-1 .\n\\end{gathered}\n$$\n故所求 $p 、 q$ 的范围分别是 $p>-1 、 q<-2$.",
    "remark": "",
    "figures": []
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