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"text": "一、母函数的概念.\n设 $f(x)=(1+x)^n$, 由二项式定理,有\n$$\nf(x)=\\sum_{k=0}^n \\mathrm{C}_n^k x^k=\\mathrm{C}_n^0+\\mathrm{C}_n^1 x+\\mathrm{C}_n^2 x^2+\\cdots+\\mathrm{C}_n^n x^n .\n$$\n这时, $f(x)$ 对应了一个数列 $\\left\\{\\mathrm{C}_n^k, 0 \\leqslant k \\leqslant n\\right\\}$, 即生成数列 $\\left\\{\\mathrm{C}_n^k\\right\\}$, 因此, 我们把函数 $f(x)=(1+x)^n$ 称为数列 $\\left\\{\\mathrm{C}_n^k\\right\\}$ 的生成函数或母函数.\n一般地说, 对于有穷数列\n$$\na_0, a_1, a_2, \\cdots, a_n,\n$$\n多项式 $f(x)=\\sum_{k=0}^n a_k x^k=a_0+a_1 x+\\cdots+a_k x^k+\\cdots+a_n x^n$ 称为数列 $\\left\\{a_k\\right\\}$ 的母函数.\n更一般地, 对于无穷数列\n$$\na_0, a_1, \\cdots, a_n, \\cdots\n$$\n我们称下列形式幂级数\n$$\nf(x)=\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+\\cdots+a_n x^n+\\cdots .\n$$\n为无穷数列 $\\left\\{a_n\\right\\}$ 的母函数.\n关于形式幂级数我们作如下的规定: 设 $f(x)=\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n, g(x)= \\sum_{n=0}^{\\infty} b_n x^n$ 是两个形式幂级数,我们规定\n(1) $f(x)=g(x)$, 当且仅当 $a_n==b_n(n=0,1,2, \\cdots)$ ;\n(2) $f(x) \\pm g(x)=\\sum_{n=0}^{\\infty}\\left(a_n \\pm b_n\\right) x^n$;\n(3) $\\alpha f(x)=\\sum_{n=0}^{\\infty}\\left(\\alpha a_n\\right) x^n$ ( $\\alpha$ 为常数);\n(4) $f(x) g(x)=\\sum_{n=0}^{\\infty} c_n x^n$, 其中 $c_n=\\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}, n=0,1,2, \\cdots$.\n二、几个重要公式在应用母函数解题时, 除了二项式定理以外, 还要用到下列几个公式: 公式 I (无穷递缩等比数列求和公式)\n$$\n\\frac{1}{1-x}=\\sum_{n=0}^{\\infty} x^n=1+x+x^2+\\cdots+x^n+\\cdots(|x|<1) .\n$$\n公式 II $\\quad(1-x)^{-k}=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\mathrm{C}_{n+k-1}^{k-1} x^n=1+\\mathrm{C}_k^{k-1} x+\\mathrm{C}_{k+1}^{k-1} x^2+\\cdots+\\mathrm{C}_{n+k-1}^{k-1} x^n+ \\cdots$ ( $k$ 为正整数, $|x|<1$ ).\n公式 II 可由公式 I 两边求 $k-1$ 阶导数后除以 $(k-1)$ ! 而得到.", |
