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"text": "组合最值问题是各类数学竞赛中的热门话题之一.\n这类问题一般可描述为下列问题:\n设 $\\mathscr{A}$ 是某类组合结构组成的集合, $\\mathscr{B}$ 是 $\\mathscr{A}$ 中满足给定条件 $P$ 的元素组成的子集, 并且对 $\\mathscr{A}$ 中每一个元素 $A$, 都对应唯一一个确定的实数 $m=f(A)$. 我们的问题是: 当 $A \\in \\mathscr{B}$ 时, 求 $m=f(A)$ 的最小值或最大值.\n有些组合最值问题中 $\\mathscr{B}$ 和 $\\mathscr{A}$ 是同一集合.\n在组合最值问题中自变量常常是正整数、集合、图等组合结构.\n它们都是一些离散的量, 而且由于自变量与要求最大(小)值的量的函数关系常常不能用一个解析式表示, 这就决定了求解组合最值问题与求解代数最值问题有许多不同的特点.\n求解组合最大(小)值问题,一般按以下步骤进行:\n(1) 探索所求的最大 (小) 值 $m_0$;\n(2) 证明: 对一切 $A \\in \\mathscr{B}$, 都有 $m=f(A) \\leqslant m_0\\left(\\geqslant m_0\\right)$;\n(3) 构造一个 $A_0 \\in \\mathscr{B}$, 使 $f\\left(A_0\\right)=m_0$. 于是, 我们得到当 $A \\in \\mathscr{B}$ 时 $m= f(A)$ 的最大 (小)值是 $m_0$.\n对于某些组合问题 (2), (3) 步可用下列 (2)',(3)'步代替.\n(2)' 证明: 满足 $m=f(A) \\leqslant m_0\\left(\\geqslant m_0\\right.$ ) 的一切 $A$ 都属于 $\\mathscr{B}$ (即 $A$ 满足给定的条件 $P$ );\n(3)' 当 $m=f(A)>m_0\\left(<m_0\\right)$ 时, 构造一个 $A_0 \\in \\mathscr{A}$ 使 $m=f\\left(A_0\\right)> m_0\\left(<m_0\\right)$ ,而 $A_0 \\notin \\mathscr{B}$ (即 $A_0$ 不满足给定的条件).\n实际解答问题时, 常常是第(1)(2)步(第(1)(3)'步)同时进行: 也就是说, 我们常常是在分析论证中探索和找出最大(小)值 $m_0$, 或在构造中探索和找出最大 (小) 值 $m_0$.\n如果 $\\mathscr{A}($ 或 $\\mathscr{B})$ 是一个有限集合, 那么 $m==f(A)$ 的取值集合也是有限集合, 可见使 $m=f(A)$ 取到最大 (小) 值的组合结构 $A_0$ 必存在.\n这时, 我们常常可用逐步调整方法来讨论当 $m=f(A)$ 取最值时, $A$ 必须满足的一些必要条件.\n若满足这些必要条件的 $A$ 是唯一的, 那么这个 $A$ 就是要找的 $A_0$, 对应的 $f(A)$ 就是要求的最值; 若满足这些必要条件的 $A$ 只有少数几个, 则逐一算出它们对应 $f(A)$ 的值, 其中最大 (小) 者, 就是所求的最大(小)值.\n从前面介绍可以看出, 最值探索出来后, 一般还要进行\"论证\" 和\"构造\". 当然求解某些组合最值问题常常是结合\"论证\" (或\"构造\") 去探索最值的, 一旦最值探索出来, \"论证\" (或\"构造\")也就完成了,剩下的任务只是进行\"构造\"或\"论证\". 如何进行 \"构造\" 和\"论证\", 读者还可参看第十二讲和第十一讲、第十讲中介绍的各种方法,而探索最值的方法主要有以下几种:\n1. 估值法.\n估计最值的常用方法有以下几种: 构造特例估计, 特殊情形估计, 整体综合估计, 极端情形估计, 反面情形估计等等 \n2. 组合分析法.\n3. 计数方法.\n4. 调整法.\n5. 归纳法.", |
