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"text": "阶及其应用.\n设 $n>1, a$ 是满足 $(a, n)=1$ 的整数,则必有一个 $r(1 \\leqslant r \\leqslant n-1)$ 使得 $a^r \\equiv 1(\\bmod n)$.\n事实上, 由于 $n$ 个数 $a^0, a^1, \\cdots, a^{n-1}$ 都与 $n$ 互素, 故它们模 $n$ 至多有 $n-$ 1 个不同的余数, 因此其中必有两个模 $n$ 同余, 即有 $0 \\leqslant i<j \\leqslant n-1$, 使得 $a^i \\equiv a^j(\\bmod n)$, 故 $a^{j-i} \\equiv 1(\\bmod n)$,于是取 $r=j-i$ 则符合要求.\n满足 $a^r \\equiv 1(\\bmod n)$ 的最小正整数 $r$, 称为 $a$ 模 $n$ 的阶.\n由上面的论证可知 $1 \\leqslant r \\leqslant n-1$. 下述的 (1) 表明, $a$ 模 $n$ 的阶具有一个非常锐利的性质:\n(1) 设 $(a, n)=1, a$ 模 $n$ 的阶为 $r$. 若正整数 $N$ 使得 $a^N \\equiv 1(\\bmod n)$, 则 $r \\mid N$.\n这是因为, 设 $N=r q+k(0 \\leqslant k<r)$, 则\n$$\n1 \\equiv a^N \\equiv\\left(a^r\\right)^q \\cdot a^k \\equiv a^k(\\bmod n) .\n$$\n因 $0 \\leqslant k<r$, 故由上式及 $r$ 的定义知, 必须有 $k=0$, 从而 $r \\mid N$.\n性质 (1) 结合欧拉定理(第 7 单元中 (2)) 可推出\n(2) 设 $(a, n)=1$, 则 $a$ 模 $n$ 的阶 $r$ 整除 $\\varphi(n)$. 特别地, 若 $n$ 是素数 $p$, 则 $a$ 模 $p$ 的阶整除 $p-1$.\n许多问题中,求出 $a$ 模 $n$ 的阶往往非常重要.\n利用 $a$ 模 $n$ 的阶及性质 (1), 便能由某些整数幂的指数产生整除关系, 这是数论中导出整除的一个基本方法.\n另一方面, 确定 $a$ 模 $n$ 的阶通常极其困难, 当问题具有某种特殊性时方有可能实现.\n对于具体的 $a$ 和 $n$, 逐一计算 $a, a^2, \\cdots$, 模 $n$ 的余数可以求得 $a$ 模 $n$ 的阶; 若利用(2), 这一手续能稍被简化.\n阶是解决许多问题的有力工具, 我们举些例子作为说明.", |
