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"text": "八个著名的数论定理.\n费马小定理,欧拉定理以及中国剩余定理这几个著名的数论定理, 在初等数论中有着重要的作用.\n(1) 费马小定理设 $p$ 是素数, $a$ 是与 $p$ 互素的任一整数,则\n$$\na^{p-1} \\equiv 1(\\bmod p) \\text {. }\n$$\n费马小定理有一个变异的形式,这有时更为适用:\n对任意整数 $a$ 有 $a^p \\equiv a(\\bmod p)$.\n(在 $p \\nmid a$ 时,两个命题等价; 当 $p \\mid a$ 时后者显然成立.)\n用归纳法不难给出费马小定理的一个证明: 易知, 我们只需对 $a=0$, $1, \\cdots, p-1$ 证明命题.\n$a=0$ 时, 结论显然成立.\n若已有 $a^p=a(\\bmod p)$, 则由\n044 于 $p \\mid \\mathrm{C}_p^i(i=1,2, \\cdots, p-1)$, 故\n$$\n(a+1)^p=a^p+\\mathrm{C}_p^1 a^{p-1}+\\cdots+\\mathrm{C}_p^{p-1} a+1 \\equiv a^p+1 \\equiv a+1(\\bmod p),\n$$\n这表明命题在 $a$ 换为 $a+1$ 时也成立.\n(2) 欧拉定理设 $m>1$ 为整数, $a$ 是与 $m$ 互素的任一整数, $\\varphi(m)$ 为欧拉函数 (见第 6 单元), 则\n$$\na^{\\varphi(m)} \\equiv 1(\\bmod m) .\n$$\n欧拉定理可如下证明: 取 $r_1, r_2, \\cdots, r_{\\varphi(m)}$ 为模 $m$ 的一个缩系.\n因为 ( $a$ , $m)=1$, 故 $a r_1, a r_2, \\cdots, a r_{\\varphi(m)}$ 也是模 $m$ 的一个缩系 (见第 6 单元). 由于模 $m$ 的两个完 (缩) 系在模 $m$ 意义下互为排列, 因此特别地有\n$$\nr_1 \\cdots r_{\\varphi(m)} \\equiv a r_1 \\cdot a r_2 \\cdots \\cdot a r_{\\varphi(m)}=a^{\\varphi(m)} r_1 r_2 \\cdots r_{\\varphi(m)}(\\bmod m) .\n$$\n因 $\\left(r_i, m\\right)=1$, 故 $\\left(r_1 r_2 \\cdots r_{\\varphi(m)}, m\\right)=1$, 因此上式两边可约去 $r_1 \\cdots r_{\\varphi(m)}$, 即有 $a^{\\varphi(m)} \\equiv 1(\\bmod m)$.\n注1 当 $m=p$ 为素数时, 由于 $\\varphi(p)=p-1$,故由欧拉定理可推出费马小定理.\n注2 若已知 $m$ 的标准分解 $m=p_1^{\\alpha_1} \\cdots p_k^{\\alpha_k}$, 则欧拉函数 $\\varphi(m)$ 由下面公式确定(其证明这里略去):\n$$\n\\begin{aligned}\n\\varphi(m) & =p_1^{\\alpha_1-1}\\left(p_1-1\\right) p_2^{\\alpha_2-1}\\left(p_2-1\\right) \\cdots p_k^{\\alpha_k-1}\\left(p_k-1\\right) \\\\\n& =m\\left(1-\\frac{1}{p_1}\\right)\\left(1-\\frac{1}{p_2}\\right) \\cdots\\left(1-\\frac{1}{p_k}\\right) .\n\\end{aligned}\n$$\n(3)中国剩余定理设 $m_1, m_2, \\cdots, m_k$ 是 $k$ 个两两互素的正整数, $M== m_1 m_2 \\cdots m_k, M_i=\\frac{M}{m_i}(i=1,2, \\cdots, k), b_1, b_2, \\cdots, b_k$ 为任意整数, 则同余式组\n$$\nx \\equiv b_1\\left(\\bmod m_1\\right), \\cdots, x \\equiv b_k\\left(\\bmod m_k\\right)\n$$\n有唯一解 $x \\equiv M_1^* M_1 b_1+\\cdots+M_k^* M_k b_k(\\bmod M)$, 其中 $M_i^*$ 为满足 $M_i^* M_i \\equiv 1\\left(\\bmod m_i\\right)$ 任意整数 $(i=1,2, \\cdots, k)$.\n验证上述结论是一件容易的事情, 我们将这留给读者(注意, 对任意 $i$, 有 $\\left(m_i, M_i\\right)=1$, 以及对任意 $j \\neq i$ 有 $m_i \\mid M_j$). 中国剩余定理的主要力量在于, 它断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解, 而解的具体形式通常并不重要.\n上述的几个数论定理是解决问题的有力工具, 它们往往和其他方法结合使用, 我们在后面将看到这一点, 这里先介绍几个较为直接的应用这些定理的例子.", |
