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"text": "素数及唯一分解定理.\n大于 1 的整数 $n$ 总有两个不同的正约数: 1 和 $n$. 若 $n$ 仅有这两个正约数(称 $n$ 没有真因子), 则称 $n$ 为素数 (或质数). 若 $n$ 有真因子, 即 $n$ 可表示为 $a \\cdot b$ 的形式 (这里 $a 、 b$ 为大于 1 的整数), 则称 $n$ 为合数.\n于是,正整数被分成三类: 数 1 单独作一类, 素数类及合数类.\n素数在正整数中特别重要, 我们常用字母 $p$ 表示素数.\n由定义易得出下面的基本结论:\n(1) 大于 1 的整数必有素约数.\n这是因为, 大于 1 的整数当然有大于 1 的正约数, 这些约数中的最小数必然没有真因子,从而是素数.\n(2) 设 $p$ 是素数, $n$ 是任意一个整数,则或者 $p$ 整除 $n$, 或者 $p$ 与 $n$ 互素.\n事实上, $p$ 与 $n$ 的最大公约数 $(p, n)$ 必整除 $p$, 故由素数的定义推知, 或者 $(p, n)=1$, 或者 $(p, n)=p$, 即或者 $p$ 与 $n$ 互素,或者 $p \\mid n$.\n素数的最为锐利的性质是下面的\n(3) 设 $p$ 是素数, $a 、 b$ 为整数.\n若 $p \\mid a b$, 则 $a 、 b$ 中至少有一个数被 $p$ 整除.\n实际上, 若 $p$ 不整除 $a$ 和 $b$, 则由上述的 (2), $p$ 与 $a 、 b$ 均互素, 从而 $p$ 与 $a b$ 互素 (见第 2 单元 (6)), 这与已知的 $p \\mid a b$ 相违!\n由 (3)特别地推出, 若素数 $p$ 整除 $a^n(n \\geqslant 1)$, 则 $p \\mid a$.\n关于素数的最为经典的一个结果是公元前欧几里得证明的:\n(4) 素数有无穷多个.\n我们用反证法来证明这一事实.\n假设素数只有有限多个, 设全体素数为 $p_1, p_2, \\cdots, p_k$. 考虑数 $N=p_1 p_2 \\cdots p_k+1$, 显然 $N>1$, 故 $N$ 有素因子 $p$. 因 $p_1, p_2, \\cdots, p_k$ 是全部素数, 故 $p$ 必等于某个 $p_i(1 \\leqslant i \\leqslant k)$, 从而 $p$ 整除 $N- p_1 p_2 \\cdots p_k$, 即 $p$ 整除 1 , 这不可能.\n因此素数有无穷多个.\n(请注意, $p_1 \\cdots p_k+1$ 并不一定是素数.)\n(4) 中的断言, 也可由第 2 单元例 3 推出来: 设 $F_k=2^{2^k}+1(k \\geqslant 0)$, 则\n$F_k>1$, 故 $F_k$ 有素约数.\n因已证明无穷数列 $\\left\\{F_k\\right\\}(k \\geqslant 0)$ 中的项两两互素, 故每个 $F_k$ 的素约数与这个数列中其他项的素约数不同, 因此素数必有无穷多个.\n现在我们转向初等数论中最为基本的一个结果, 即正整数的唯一分解定理,也称为算术基本定理,它表现了素数在正整数集合中的真正分量.\n(5) (唯一分解定理) 每个大于 1 的正整数均可分解为有限个素数的积; 并且, 若不计素因数在乘积中的次序, 这样的分解是唯一的.\n换句话说,设 $n>1$, 则 $n$ 必可表示为 $n=p_1 p_2 \\cdots p_k$, 其中 $p_i(1 \\leqslant i \\leqslant k)$ 都是素数; 并且,若 $n$ 有两种素因数分解\n$$\nn=p_1 p_2 \\cdots p_k=q_1 q_2 \\cdots q_l,\n$$\n则必有 $k=l$, 并且 $p_1, p_2, \\cdots, p_k$ 是 $q_1, q_2, \\cdots, q_l$ 的一个排列.\n将 $n$ 的素因数分解中的相同的素因子收集在一起,可知每个大于 1 的正整数 $n$ 可唯一地表示为\n$$\nn=p_1^{\\alpha_1} p_2^\\alpha \\cdots p_k^{\\alpha_k},\n$$\n其中 $p_1, p_2, \\cdots, p_k$ 是互不相同的素数, $\\alpha_1, \\alpha_2, \\cdots, \\alpha_k$ 是正整数,这称为 $n$ 的标准分解.\n若已知正整数 $n$ 的 (如上所述的)标准分解,则由唯一分解定理,可确定其全部的正约数:\n(6) $n$ 的全部正约数为 $p_1^{\\beta_1} p_2^{\\beta_2} \\cdots p_k^{\\beta_k}$, 其中 $\\beta_i$ 是满足 $0 \\leqslant \\beta_i \\leqslant \\alpha_i(i=1, \\cdots$, $k$ ) 的任意整数.\n由此易知, 若设 $\\tau(n)$ 为 $n$ 的正约数的个数, $\\sigma(n)$ 为 $n$ 的正约数之和, 则有\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\tau(n)=\\left(\\alpha_1+1\\right)\\left(\\alpha_2+1\\right) \\cdots\\left(\\alpha_k+1\\right), \\\\\n& \\sigma(n)=\\frac{p_1^{\\alpha_1+1}-1}{p_1-1} \\cdot \\frac{p^{\\alpha_2+1}-1}{p_2-1} \\cdots \\cdots \\cdot \\frac{p^{\\alpha_k+1}-1}{p_k-1} .\n\\end{aligned}\n$$\n虽然素数有无穷多,但它们在自然数中的分布却极不规则 . 给定一个大整数, 判定它是否为素数, 通常是极其困难的, 要作出其标准分解, 则更为困难.\n下面 (7) 中的结果相当有趣, 它对任意 $n>1$, 给出了 $n$ ! 的标准分解.\n(7) 对任意正整数 $m$ 及素数 $p$, 记号 $p^\\alpha \\| m$ 表示 $p^\\alpha \\mid m$, 但 $p^{\\alpha+1} \\nmid m$, 即 $p^\\alpha$ 是 $m$ 的标准分解中出现的 $p$ 的幕.\n设 $n>1, p$ 为素数, $p^{\\alpha_p} \\| n !$, 则\n$$\n\\alpha_p=\\sum_{l=1}^{\\infty}\\left[\\frac{n}{p^l}\\right]\\left(==\\left[\\frac{n}{p}\\right]+\\left[\\frac{n}{p^2}\\right]+\\cdots\\right)\n$$\n这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.\n请注意, 由于当 $p^l>n$ 时, $\\left[\\frac{n}{p^l}\\right]=0$, 故上面和式中只有有限多个项非零.\n证明某些特殊形式的数不是素数 (或给出其为素数的必要条件), 是初等数论中较为基本的问题, 在数学竞赛中尤为常见.\n处理这类问题的基本方法是应用 (各种)分解技术,指出所说数的一个真因子.\n我们举几个这样的例子.", |
