The four roots r 1 , r 2 , r 3 , r 4 of a quartic polynomial equation x 4 + a ⁢ x 3 + b ⁢ x 2 + c ⁢ x + d = 0 are given by

r 1 = - a 4 - 1 2 ⁢ a 2 4 - 2 ⁢ b 3 + 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3 - 1 2 ⁢ a 2 2 - 4 ⁢ b 3 - 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 - ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3 - - a 3 + 4 ⁢ a ⁢ b - 8 ⁢ c 4 ⁢ a 2 4 - 2 ⁢ b 3 + 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3

r 2 = - a 4 - 1 2 ⁢ a 2 4 - 2 ⁢ b 3 + 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3 + 1 2 ⁢ a 2 2 - 4 ⁢ b 3 - 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 - ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3 - - a 3 + 4 ⁢ a ⁢ b - 8 ⁢ c 4 ⁢ a 2 4 - 2 ⁢ b 3 + 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3

r 3 = - a 4 + 1 2 ⁢ a 2 4 - 2 ⁢ b 3 + 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3 - 1 2 ⁢ a 2 2 - 4 ⁢ b 3 - 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 - ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3 + - a 3 + 4 ⁢ a ⁢ b - 8 ⁢ c 4 ⁢ a 2 4 - 2 ⁢ b 3 + 2 1 3 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 ⁢ ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 ) 1 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d + - 4 ⁢ ( b 2 - 3 ⁢ a ⁢ c + 12 ⁢ d ) 3 + ( 2 ⁢ b 3 - 9 ⁢ a ⁢ b ⁢ c + 27 ⁢ c 2 + 27 ⁢ a 2 ⁢ d - 72 ⁢ b ⁢ d ) 2 54 ) 1 3